lunes, 10 de junio de 2013

Teoría de conjuntos desde cero: Producto cartesiano

Producto cartesiano


Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de ambos, escrito A x B, es cada elemento de A por cada elemento de B mediante pares ordenados.

Un par de ordenado es un pareja de elementos en un orden dado (r, x). Veamos un ejemplo:

Sean:
A={a, b, c}
B={d, e}

el producto cartesiano será entonces

A x B = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)}


Teoría de conjuntos desde cero: operaciones con conjuntos. Conjunto potencia

Conjunto Potencia


Los conjuntos formados por conjuntos, colecciones o familias tendrá un conjunto potencia formado por cada uno de ellos, por ejemplo:

para A = {a, b, c} el conjunto potencia P(A) será todos los conjuntos que se pueden formar con A, incluido él mismo y el conjunto vacío:

P(A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}

Teoría de conjuntos desde cero: operaciones con conjuntos. Diferencia y diferencia simétrica

DiferenciaEl conjunto A diferencia B, escrito A - B, está formado por elementos del universo que pertenecen a A y no B, es decir, los elementos de A que no sean comunes con B, por ejemplo


A={a, b, c, d, e}                                               A - B = {a ,b, c}
B={d, e, f, g}

Tomaremos como universo el conjunto de todas letras del abecedario español, es decir, U={a, b, c, d, ..., z}.

En el diagrama de Venn la diferencia (en amarillo) serán a,b,c porque son elementos de A y no están en B.



Diferencia simétrica

El conjunto A diferencia simétrica B, escrito A Δ B, está formado por elementos del universo que pertenecen o bien a A o bien a B pero no a ambos al mismo tiempo, es decir los elementos no comunes entre A y B, se podría decir que la diferencia simétrica es la operación complementaria(contraria) a la intersección. Veamos un ejemplo


A={a, b, c, d, e}                                               A Δ B = {a, b, c, f, g}
B={d, e, f, g}

Tomaremos como universo el conjunto de todas letras del abecedario español, es decir, U={a, b, c, d, ..., z}.

En el diagrama de Venn la diferencia simétrica (en amarillo) será por tanto, los elementos que no estén en la intersección, es decir, a,b,c,f,g, ya que son los elementos que no están en A y B al mismo tiempo.


Teoría de conjuntos desde cero: operaciones con conjuntos. Conjuntos complementarios y disjuntos

Conjuntos Disjuntos

 

Dos conjuntos A y B son disjuntos entre sí, si el conjunto intersección es cero o vacío, es decir no tienen elementos que pertenezcan a los dos, es decir, no existen elementos comunes, esto se escribe

A ∩ B = {Ø}.

Complemento

El conjunto complemento de A, escrito A', está formado por elementos del universo que no pertenecen a A. Un ejemplo,


A={a, b, c, d, e}                                              

como siempre el universo será el conjunto del abecedario español,

U={a, b, c, d, ..., z}.

por tanto, el complementario de A será el conjunto formado por todas las letras del abecedario que no estén en A, es decir

'A = {f, g, h, i, j, k, l, m, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

En un diagrama de Venn el complementario es todo lo que está fuera del conjunto A


también podría decirse que el complementario de A es la diferencia simétrica entre el conjunto A y el universo, U, ya que si recordamos, la diferencia simétrica son los elementos no comunes entre dos conjuntos, en este caso, los elementos no comunes entre A y U es A'


A Δ U = A'

Y hasta aquí las operaciones básicas con conjuntos. En la próxima sección continuaremos un poco más, introduciendo el concepto de par ordenado.

sábado, 8 de junio de 2013

Teoría de conjuntos desde cero: operaciones con conjuntos. Unión e intersección

Ya en la sección anterior conocimos y definimos a los conjuntos así como sus propiedades más básicas; ahora haremos operaciones con ellos.

Unión 

 

El conjunto A unión B, escrito A ∪ B, está formado por el universo, U, de los elementos que pertenecen a A o B, o a ambos. Por ejemplo

A={a, b, c, d, e}                                               A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}
B={d, e, f, g}

 Tomaremos como universo el conjunto de todas letras del abecedario español, es decir, U={a, b, c, d, ..., z}.

En el diagrama de Venn, la unión ocupará todos los elementos ya que la unión son todos los elementos de A o de B sin distinción.


Intersección

 

El conjunto A intersección B, escrito A ∩ B, está formado por elementos del universo que pertenecen a A y a B al mismo tiempo, es decir los elementos comunes entre A y B, por ejemplo

A={a, b, c, d, e}                                               A ∩ B = {d, e}
B={d, e, f, g}

Tomaremos como universo el conjunto de todas letras del abecedario español, es decir, U={a, b, c, d, ..., z}.

En el diagrama de Venn la intersección (en amarillo) tan solo ocupa los 'd' y 'e' que son los elementos comunes entre A y B.


jueves, 6 de junio de 2013

Teoría de conjuntos desde cero

Si ya tienes claros los conceptos y lo que estás buscando son las operaciones con conjuntos, tales como la unión o intersección, entonces vamos a la siguiente sección

 Empezando...


Un conjunto es una colección de elementos. Los elementos de un conjunto van encerrados entre corchetes. Por ejemplo si definimos un conjunto llamado muebles, éste se escribiría de la siguiente manera:

muebles={mesa, silla, estantería}

El cardinal de este conjunto es 3. Se llama cardinal al número de elementos de un conjunto.

El elemento mesa pertenece al conjunto muebles. Para simbolizar dicha relación escribimos

mesa ∈ muebles

El elmento pelota sin embargo, no es un elemento del conjunto muebles por tanto, no pertenece al conjunto muebles; esto se escribe de la siguiente manera

pelota ∉ mueble

Se denomina conjunto vacío, al conjunto que no tiene elmentos, designándose por {} o bien mediante el símbolo ∅. Por ejemplo, sea un conjunto llamado herramientas sin elementos:

herramientas = {};  o bien herramientas = ∅

Se denonima universo, espacio o conjunto referencial a aquel que tiene todos lo elementos de un contexto concreto. Por ejemplo, para el caso del conjunto muebles, el universo, escrito U, son todos los muebles existentes por ejemplo en una tienda, es decir, U={mesa, silla, estantería, cama, ropero, cómoda, vitrina,...}.

Un par de conceptos más

 

Igualdad de conjuntos

Sean A y B dos conjuntos dos conjuntos iguales ya que sus elementos así lo son

A=B

{1,3,2}={2,1,3}

no importa el orden, sólo importa que sus elmentos sean iguales.

Idea de subconjunto
El conjunto A está incluido en B si cada elemento de A es también de B, por ejemplo, A={1,2,3} y B={1,2,3,4}.
A ⊆ B

 {1,2,3} ⊆ {1,2,3,4}

se observa que cada elemento de A está incluido en B, 1 está en B, 2 está B y 3 está B; esto significa que A es un subconjunto B, es decir cuando A ⊆ B, A es un subconjunto B tal y como muestra el diagrama de Euler:


como se ve, A está encerrado (contenido) dentro de B, es decir A es un subconjunto de B. 

Trabajaremos con estos diagramas en la siguiente sección sobre operaciones con conjuntos para ver más claramente las distintas cuentas que hagamos. Los diagramas  se denominan de forma general Diagrama de Venn-Euler.

jueves, 23 de mayo de 2013

Definición de Aplicación o función matemática

Aplicación o función matemática.

Comenzaremos definiendo el término aplicación para un buen menejo de los demás conceptos; estoy seguro de que entenderéis enseguida de qué se trata. Así pues, tomemos dos conjuntos A y B, conjuntos que pueden tener una cantidad cualquiera de elementos, cantidad que puede ser tanto finita como infinita.
 

Se verifica la existencia de una aplicación, es decir, de una función de "A" a "B" cuando exista un criterio de emparejamiento, al que llamaremos f, entre los elementos de "A" y los elementos de "B", de modo que a cada elemento de "A", le corresponde única y obligatoriamente un elemento de "B". 


Todos los elementos de A están emparejados
con un único elemento de B. 


En otros casos, se denomiraría "correspondencia matemática" si puede corresponderse con más de un elemento de "B"; y "relación" en caso de que además algún elemento de "A" no tuviera correspondencia en "B". A una función se la representa mediante la notación, f : A → B (esta notación también vale para correspondencias matemáticas, aunque no para relaciones).

No hay restricciones en la forma en que se
pueden formar parejas entre ambos conjuntos.


"A" es llamado conjunto dominio de f o simplemente dominio de f. Al conjunto "B" se le denomina imagen de f. Si 'a' es un elemento del conjunto "A", al único elemento 'b' de "B" que f empareja con 'a' se denota mediante f(a), es decir, f(a) = b.


Cada elemento de A se corresponde
con uno o más elementos de B (véase Z).

 

Las aplicaciones se clasifican dependiendo de cómo se comportan el conjunto de definición de f y la imagen asociada en "B". Los nombres de éstos conceptos fueron acuñados por el matemático ficticio Nicolás Bourbaki.