viernes, 21 de agosto de 2009

Relación matemática

Relación matemática.

En orden inverso, continuemos la historia acontecida con la publicación del primer artículo de este blog, el concepto de relación matemática, concepto más general que el primero, pero que paradójicamente, publicamos después. Vimos como una función o aplicación era un caso concreto de correspondencia matemática, que a su vez era un tipo concreto de relación. Pero, ¿qué es, cómo se define y cómo se nota esto último?. Al igual que hicimos con la aplicación matemática, aquí tampoco nos centraremos en comentar propiedades ni destacar hechos profundos sobre las relaciones matemáticas, sino simplemente dar una visión conceptual y casi divulgativa del concepto de relación, para comprender de manera exacta que entendemos por relación cuando usemos dicho término en otros artículos de nuestro blog.

Si alguna vez necesitamos conocer algún otro tipo de hecho referido a las relaciones, serán explicadas oportunamente en el contexto necesario. Sería vacuo, inútil e incluso antipedagógico engrosar la monografía con nuevos y ampliados conceptos sobre relaciones que no tienen, en principio, utilidad aparente ni son de interés a priori; porque no queremos, ante todo, aburrir al lector.


Una relación es un emparejamiento de elementos de múltiples conjuntos. Por ejemplo, si tengo el conjunto de las personas que conozco de mi universidad (conjunto A), de mi barrio (conjunto B), y de mi escuela de música (conjunto C), podría definir la relación Amigos, relación que llamaremos sencillamente R, a la relación que empareja un elemento de A, con uno de B y con uno de C, siempre y cuando los tres elementos sean amigos entre sí -se nota como RAxBxC-.

Imaginemos que A = { José, Juan }, B = { Miguel, Raúl }, y C = { Adrián, Sara, Antonio }. Lo primero que se podría deducir, en el caso de qué estos conjuntos fueran fieles a la realidad, es que conozco a muy poca gente, y que a Sara no le gustaría encontrarse en una habitación a oscuras con todos mis conocidos (o quizás sí). Como aquí no hemos venido a razonar, sino a comprender un nuevo concepto, no insisteremos más en la naturaleza de mis amigos.

AxBxC (que llamaremos a partir de ahora K) no sería más que el conjunto de todos los tríos que puede formarse, es decir:
K = { (José, Miguel, Adriań), (José, Miguel, Sara), (José, Miguel, Antonio),
(José, Raúl, Adriań), ..., (Juan, Raúl, Antonio) }.

Como
RAxBxC, algunos elementos de K pertenecerán a R, y otros no. Imaginemos que R = { (José, Miguel, Adrían), (Juan, Miguel, Sara), (Juan, Raúl, Sara) }. Significaría que José, Miguel y Adrían, son amigos entre sí; que Juan, Raúl y Sara también lo son, y que Juan, Raúl y Sara, por ende, también. Sin embargo, José, Miguel y Sara no son amigos entre sí, o que Antonio no es amigo de ningún otro conocido mío.


A la hora de definir R, y de usar R, es importante mantener el orden de aparición de los elementos. Así, si RAxB, todo elemento (x, y) \in R, debe ser tal que x \in A e y \in B.

De manera general, si A1, ..., An, son n>0 conjuntos, definimos una relación como cualquier conjunto
RA1xA2x...xAn. Es importante destacar que los conjuntos Ai puede ser de cualquier naturaleza y de cualquier tamaño (tanto finito como infinito), es decir, cualquier conjunto, pero una relación siempre debe definirse con respecto a una cantidad finita de conjuntos, por eso exigimos que existan n (es decir, cualquier cantidad finita).

Los conjuntos sobre los que se define la relación no tienen por qué ser distintos, pueden ser perfectamente el mismo conjunto, con lo cual entonces se estaría definiendo una relación entre elementos del mismo conjunto, evidentemente. Por ejemplo, podríamos relacionar bajo cualquier criterio que nos inventemos dos galletas del mismo paquete,
RPxP, siendo P un único paquete de galletas (siendo más habitual, en éste caso, usar la notación RP², y RP^n en caso de que relacionemos consigo mismo hasta n galletas del mismo paquete).

A una relación se la suele caracterizar por la cantidad de conjuntos sobre la que esté definida. Así, si en
RA1xA2x...xAn, n = 1, a la relación se le llama unaria, con n=2, binaria, con n=3, ternaria, etc. En el caso general, se le llama relación n-aria.

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